Nk是一个严格的子变换半群，保留了有限链的双面类型k[n]。
对于1≤k≤n-1，0≤r≤n-1，OI（n，r）k ={α∈OInk：| im（α）|≤r}是OInk半群两侧的理想选择。
通过范围r和绿色的比率分析元素，分别给出生成的最小集合和OOI半群（n，r）k的等级。
另外，如果0≤l≤r，则确定半群OI（n，r）k相对于理想OI（n，l）k的相对范围。
LetOInkbethesemigroupofalling双边k型顺序保留单对部分转换无限链[n]（n> 3），并且letOI（n，r）k ={α∈OInk：| im（α）|≤r}，R）Kforanarbitraryaryegerk，使得1≤k≤n-1，0≤r≤n-1
通过分析补丁的元素和Green关系，分别获得最小的发电机组和IO组范围（n，r）。
另外，该组的移民IO（n，r）k相对于IDO（n，l）kisdeterminadopara0≤l≤r。
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与范围（n，r）k“ />有关的范围